신데렐라와 유리구두는 거짓말(공학 이야기)

황성호 원장작성일 2024.09.24

신데렐라가 유리구두를 신고 춤을 출 때 유리가 깨지지 않도록 하기 위해서는 구두의 두께와 설계가 매우 중요합니다. 유리는 아름다운 재료이지만, 내구성 측면에서 보면 취성 재료로 분류되며, 이는 변형 없이 갑작스럽게 파괴될 수 있음을 의미합니다. 따라서 실제로 사람이 착용하고 춤을 출 수 있는 유리구두를 제작하려면 몇 가지 공학적 고려사항이 필요합니다.

1. 유리의 기계적 특성
인장 강도: 일반적인 유리의 인장 강도는 약 45–55 MPa입니다. 그러나 미세한 결함이나 표면의 긁힘으로 인해 실제 강도는 이론적인 값보다 낮아질 수 있습니다.
압축 강도: 유리는 압축하에서는 비교적 강하며, 압축 강도는 약 1000 MPa까지 가능합니다.
취성: 유리는 연성 재료와 달리 변형 없이 파괴되므로, 갑작스러운 충격이나 집중된 하중에 취약합니다.
2. 하중 분석
신데렐라의 체중 가정: 평균적인 성인 여성의 체중을 60kg으로 가정합니다.
동적 하중: 춤을 출 때는 정적인 하중보다 최대 2~3배의 동적 하중이 발생할 수 있습니다. 따라서 최대 하중은 약 180kg(약 1,764 N)으로 계산됩니다.
하중 분포: 발바닥 전체에 하중이 고르게 분포되지 않으며, 특히 뒤꿈치나 발가락 부분에 집중될 수 있습니다.
3. 두께 계산
유리구두의 가장 취약한 부분은 얇은 바닥과 굽 부분입니다. 이를 보강하기 위해 다음과 같은 접근법을 사용할 수 있습니다.
굽의 단면적 증가: 굽의 면적을 넓혀 하중을 분산시킵니다.
두께 증가: 바닥과 측면의 두께를 증가시켜 강성을 높입니다.
곡면 설계: 유리는 곡면 형태로 만들면 응력 집중을 줄일 수 있습니다.
예시 계산:
굽에 작용하는 응력 계산:
굽의 면적 A=폭×길이A = 폭 \times 길이
A=폭×길이
예를 들어, 굽의 면적이 2cm×2cm=4cm22cm \times 2cm = 4cm^2
2cm×2cm=4cm2라고 하면,
최대 응력 σ=하중면적=1,764N0.0004m2=4.41×106Pa\sigma = \frac{하중}{면적} = \frac{1,764N}{0.0004m^2} = 4.41 \times 10^6 Pa
σ=면적하중=0.0004m21,764N=4.41×106Pa (약 4.41 MPa)
안전율 적용:
유리의 인장 강도를 보수적으로 10 MPa로 잡고, 안전율 2를 적용하면 허용 응력은 5 MPa입니다.
계산된 응력 4.41 MPa는 허용 범위 내에 있지만, 이는 이상적인 조건입니다.
필요한 두께 추정:
바닥을 단순 지지 보로 모델링하여, 중앙에 하중이 작용한다고 가정합니다.
최대 굽힘 응력 공식: σ=MyI\sigma = \frac{M y}{I}
σ=IMy
여기서 MM
M은 굽힘 모멘트, yy
y는 중립축에서 가장 먼 섬유까지의 거리, II
I는 단면 2차 모멘트입니다.
이 공식을 역으로 사용하여 필요한 두께를 계산할 수 있습니다.
결과적으로, 안전한 사용을 위해서는 바닥과 굽의 두께를 최소 10mm 이상으로 설계해야 할 것으로 보입니다. 그러나 이렇게 두꺼운 유리구두는 무게가 많이 나가며, 착용자의 편의성과 실제 착용 가능성을 떨어뜨릴 수 있습니다.
4. 현실적인 대안
강화 유리 사용: 강화 유리는 일반 유리보다 강도가 높아 더 얇게 제작할 수 있습니다.
복합 재료: 유리섬유 강화 플라스틱(GFRP) 등으로 외관은 유리처럼 보이지만 내구성을 높일 수 있습니다.
코팅 처리: 유리 표면에 폴리머 코팅을 하여 파손 시 파편이 튀는 것을 방지할 수 있습니다.

그런데 이 당시에는 강화유리가 없으니까.. ㅠㅠ

결론
실제로 사람이 유리구두를 신고 춤을 추는 것은 공학적으로 불가능에 가깝습니다.. 유리의 취성 특성과 하중 조건을 고려하면, 유리구두의 두께는 최소 10mm 이상이어야 하며, 이는 무게와 착용감에 부정적인 영향을 미칩니다. 따라서 현실적으로는 강화 유리나 복합 재료를 사용하여 유사한 외관을 가진 구두였어야 하는데.. 시대상으로 보아 마법의 세계라서 가능한것이라면 ....

아 그렇구나 호박마차랑 같이 마법으로 만들어서 준거니까 가능했구나!!!
그리고 왕자는 이미 돈이 많았기 때문에 마법의 유리구두를 시장에 팔아서 큰돈을
벌생각보다는, 사랑하는 신데렐라를 찾을 생각을 했던거시지요.

스완성형외과 칼럼 · 황성호 원장

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